воскресенье, 8 февраля 2015 г.

Время свободного падения

Попалась интересная задача в астрофизике, иллюстрирующая связь между физикой и математикой, а также имеющее свое элегантное решение.

На словах формулировка следующая. Если рассмотреть тело, находящееся в состоянии покоя на некотором расстоянии R от более массивного тела массой M, то какое время будет потрачено на падение первого на второе?

Аналогичная формулировка может быть такой: если рассмотреть облако газа радиуса R и массы M, то за какое время облако сколлапсирует в точку?

При этом в задаче рассматривается только воздействие гравитации.

Решение задачи очень актуально в астрофизике, так как оно позволяет описать время звездообразования из облака, время коллапса звезды на последних этапах развития и др. Решение также подходит для любых частиц облака, нужно только взять другой R. Решение также может пригодится если спутник вращается вокруг Земли, и его нужно вернуть с минимальными затратами топлива (затормозив в апогее). Соответственно, задача описывается во многих астрофизических учебниках. Но, как ни странно, оказывается сложным найти точное математическое решение.

Сложность здесь заключается в том, что нужно либо провести несколько этапов интегрирования и выполнить переход между переменными, либо прийти дифференциальному уравнению второго порядка и решить его, что и тут непросто. Например, в исходном случае все это можно описать следующим образом.

В любой момент времени на частицу действует сила притяжения F=G*M*m/r2. И соответственно нам известна функция ускорения от расстояния a(r)=G*M/r2. Интегрировать чтобы получить скорость и далее расстояние (которое потом связывается с R) нужно по времени t, и для перехода к t здесь можно получить a(t)=G*M/r2(t), так как только r зависит от t. Следующий шаг — интегрирование, но так как r(t) в второй степени, то сделать это не просто.

Вторым путем (если человек знаком с дифференцированием и решением уровнений) может быть представление в виде (с. 168):

И далее нужно решить следующее:

Как можно видеть по ссылке, на этом астрофизическая мысль в учебнике обрывается. И далее идет на откуп математикам, которые сразу выдают решение.

Особенность в том, что полное решение данной задачи занимает две страницы текста, и при этом совсем не тривиально.

Но что интересно, существует способ решения задачи, занимающий две строчки, и доступный школьнику (изучившим законы Кеплера). Его полное описание есть в английской вики.

Идея заключается в том, что падение тела можно рассмотреть как движение тела по эллипсу (как в 1-м законе Кеплера):

Но в нашем случае эллипс такой брать нельзя, его нужно видоизменить. Для этого в фокус эллипса поместим центр облака, малую полуось сделаем равной нулю, а большая полуось будет R/2. Из третьего закона Кеплера получаем время оборота T:

Падение это полоборота, откуда сразу выходит ответ:

Все просто, в два шага, и доступно.

Вот таким образом астрофизика и математика живут и помогают друг другу (;