Время свободного падения

Попалась интересная задача в астрофизике, иллюстрирующая связь между физикой и математикой, а также имеющее свое элегантное решение.

На словах формулировка следующая. Если рассмотреть тело, находящееся в состоянии покоя на некотором расстоянии R от более массивного тела массой M, то какое время будет потрачено на падение первого на второе?

Аналогичная формулировка может быть такой: если рассмотреть облако газа радиуса R и массы M, то за какое время облако сколлапсирует в точку?

При этом в задаче рассматривается только воздействие гравитации.

Решение задачи очень актуально в астрофизике, так как оно позволяет описать время звездообразования из облака, время коллапса звезды на последних этапах развития и др. Решение также подходит для любых частиц облака, нужно только взять другой R. Решение также может пригодится если спутник вращается вокруг Земли, и его нужно вернуть с минимальными затратами топлива (затормозив в апогее). Соответственно, задача описывается во многих астрофизических учебниках. Но, как ни странно, оказывается сложным найти точное математическое решение.

Сложность здесь заключается в том, что нужно либо провести несколько этапов интегрирования и выполнить переход между переменными, либо прийти дифференциальному уравнению второго порядка и решить его, что и тут непросто. Например, в исходном случае все это можно описать следующим образом.

В любой момент времени на частицу действует сила притяжения F=G*M*m/r². И соответственно нам известна функция ускорения от расстояния a(r)=G*M/r². Интегрировать чтобы получить скорость и далее расстояние (которое потом связывается с R) нужно по времени t, и для перехода к t здесь можно получить a(t)=G*M/r²(t), так как только r зависит от t. Следующий шаг — интегрирование, но так как r(t) в второй степени, то сделать это не просто.

Вторым путем (если человек знаком с дифференцированием и решением уровнений) может быть представление в виде (с. 168):

И далее нужно решить следующее:

Как можно видеть по ссылке, на этом астрофизическая мысль в учебнике обрывается. И далее идет на откуп математикам, которые сразу выдают решение.

Особенность в том, что полное решение данной задачи занимает две страницы текста, и при этом совсем не тривиально.

Но что интересно, существует способ решения задачи, занимающий две строчки, и доступный школьнику (изучившим законы Кеплера). Его полное описание есть в английской вики.

Идея заключается в том, что падение тела можно рассмотреть как движение тела по эллипсу (как в 1-м законе Кеплера):

Но в нашем случае эллипс такой брать нельзя, его нужно видоизменить. Для этого в фокус эллипса поместим центр облака, малую полуось сделаем равной нулю, а большая полуось будет R/2. Из третьего закона Кеплера получаем время оборота T:

Падение это полоборота, откуда сразу выходит ответ:

Все просто, в два шага, и доступно.

Вот таким образом астрофизика и математика живут и помогают друг другу (;

Математики и программисты по Дейкстре

Уже длительное время наблюдал разность между математиками и программистами. Это проявляется как противопоставление самих их представителей («программисты — это всего лишь дискретные математики«, а вот ответку вспомнить пока не получается), в изобретении существующих математических велосипедов программистами, а также незнании ряда базовых или почти базовых вещей за соседним забором. И что относительно меня, то успел побывать существенное время в обеих лагерях.

Сейчас, читая Дейкстру (Programming as a discipline of mathematical nature), обнаружил интересное описание этой разности:

1. In the standard mathematical curriculum the student becomes familiar (sometimes even very familiar!) with a standard collection of mathematical concepts, he is less trained in introducing new concepts himself.
2. In the standard mathematical curriculum the student becomes familiar (sometimes even very familiar!) with a standard set of notational techniques, he is less trained in inventing his own notation when the need arises.
3. In the standard mathematical curriculum the student often only sees problems so "small" that they are dealt with a single semantic level. As a result many students see mathematics rather as the art of organizing their symbols on their piece of paper than as the art of organizing their thoughts.

Не в моем переводе (не с первой попытки нашел на русском):

1. В стандартном математическом курсе студент хорошо знает (иногда даже очень хорошо знает!) стандартный набор математических концепций, но меньше обучен изобретать собственные концепции.
2. В стандартном математическом курсе студент хорошо знает (иногда даже очень хорошо знает!) стандартный комплектом нотаций, но он практически не умеет изобрести собственную нотацию, когда в ней возникает необходимость.
3. В стандартном математическом курсе студент часто видит проблему настолько "маленькой", что он имеет дело с только одним семантическим уровнем. В результате многие студенты видят в математике скорее искусство организации символов на листе бумаги, чем искусство организации своих мыслей.

Написано это все в мае 1973 года, и сейчас, с возрастанием сложности систем и с более активной типизацией на прикладной стороне, эта разность стала ещё более явной.